一步步教你轻松学奇异值分解SVD降维算法

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发布时间：2019-06-14

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( 2018年10月24日09:04:56 )

摘要：奇异值分解（singular value decomposition）是线性代数中一种重要的矩阵分解，在生物信息学、信号处理、金融学、统计学等领域有重要应用，SVD都是提取信息的强度工具。在机器学习领域，很多应用与奇异值都有关系，比如推荐系统、数据压缩（以图像压缩为代表）、搜索引擎语义层次检索的LSI等等。（本文原创，转载必须注明出处.）

奇异值分解原理

什么是奇异值分解(SVD）

奇异值分解

假设M是一个m×n阶矩阵，其中的元素全部属于域K，也就是实数域或复数域。如此则存在一个分解使得

$$ M_{m×n}=U_{m×m} \Sigma_{m×n} V^T_{n×n} $$

其中U是m×m阶酉矩阵；Σ是m×n阶非负实数对角矩阵；而$V^T$，即V的共轭转置，是n×n阶酉矩阵。这样的分解就称作M的奇异值分解。Σ对角线上的元素$Σ_i$,i即为M的奇异值。常见的做法是将奇异值由大而小排列。如此Σ便能由M唯一确定了。（虽然U和V仍然不能确定。）

V的列组成一套对$M$的正交"输入"或"分析"的基向量。这些向量是$M^*M$的特征向量。

U的列组成一套对$M$的正交"输出"的基向量。这些向量是$MM^*$的特征向量。

Σ对角线上的元素是奇异值，可视为是在输入与输出间进行的标量的"膨胀控制"。这些是$ MM^* $及 $ M^* M $的特征值的非负平方根，并与U和V的行向量相对应。

SVD 的计算方法

SVD 与特征值

现在，假设矩阵 $ \mathbf M_{m\times n} $ 的 SVD 分解是 $ \mathbf M = \mathbf U\mathbf\Sigma\mathbf V^{\mathsf H}; $那么，我们有

\begin{aligned}

\mathbf M\mathbf M^{\mathsf H} &{}= \mathbf U\mathbf\Sigma\mathbf V^{\mathsf H}\mathbf V\mathbf\Sigma^{\mathsf H}\mathbf U^{\mathsf H} = \mathbf U(\mathbf\Sigma\mathbf\Sigma^{\mathsf H})\mathbf U^{\mathsf H} \\

\mathbf M^{\mathsf H}\mathbf M &{}= \mathbf V\mathbf\Sigma^{\mathsf H}\mathbf U^{\mathsf H}\mathbf U\mathbf\Sigma\mathbf V^{\mathsf H} = \mathbf V(\mathbf\Sigma^{\mathsf H}\mathbf\Sigma)\mathbf V^{\mathsf H}\

\end{aligned}

这也就是说，$ \mathbf U $ 的列向量（左奇异向量），是$ \mathbf M\mathbf M^{\mathsf H} $ 的特征向量；同时，$ \mathbf V $ 的列向量（右奇异向量），是 $ \mathbf M^{\mathsf H}\mathbf M $ 的特征向量；另一方面，$ \mathbf M $ 的奇异值（$ \mathbf\Sigma $ 的非零对角元素）则是 $ \mathbf M\mathbf M^{\mathsf H} $ 或者 $ \mathbf M^{\mathsf H}\mathbf M $ 的非零特征值的平方根。

如何计算 SVD

有了这些知识，我们就能手工计算出任意矩阵的 SVD 分解了；具体来说，算法如下

计算 $ \mathbf M\mathbf M^{\mathsf H} $ 和 $ \mathbf M^{\mathsf H}\mathbf M $；

分别计算 $ \mathbf M\mathbf M^{\mathsf H} $ 和 $ \mathbf M^{\mathsf H}\mathbf M $ 的特征向量及其特征值；

$ \mathbf M\mathbf M^{\mathsf H} $ 的特征向量组成 $ \mathbf U $；而 $ \mathbf M^{\mathsf H}\mathbf M $ 的特征向量组成 $ \mathbf V $；

对 $ \mathbf M\mathbf M^{\mathsf H} $ 和 $ \mathbf M^{\mathsf H}\mathbf M $ 的非零特征值求平方根，对应上述特征向量的位置，填入 $ \mathbf\Sigma $ 的对角元。

实际计算看看

现在，我们来试着计算 $ \mathbf M = \begin{bmatrix}2 & 4 \\ 1 & 3 \\ 0 & 0 \\ 0 & 0\end{bmatrix} $ 的奇异值分解。计算奇异值分解，需要计算 $ \mathbf M $ 与其共轭转置的左右积；这里主要以 $ \mathbf M\mathbf M^{\mathsf H} $ 为例。

首先，我们需要计算 $ \mathbf M\mathbf M^{\mathsf H} $，

\mathbf W = \mathbf M\mathbf M^{\mathsf H} = \begin{bmatrix}2 & 4 \\ 1 & 3 \ 0 & 0 \\ 0 & 0\end{bmatrix}\begin{bmatrix}2 & 1 & 0 & 0 \\ 4 & 3 & 0 & 0\end{bmatrix} = \begin{bmatrix}20 & 14 & 0 & 0 \\ 14 & 10 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 0\end{bmatrix}.

现在，我们要求 $ \mathbf W $ 的特征值与特征向量。根据定义$ \mathbf W\vec x = \lambda \vec x $；因此 $ (\mathbf W - \lambda\mathbf I)\vec x = \vec 0 $。这也就是说

\begin{bmatrix}

20 - \lambda & 14 & 0 & 0 \\

14 & 10 - \lambda & 0 & 0 \\

0 & 0 & -\lambda & 0 \\

0 & 0 & 0 & -\lambda

\end{bmatrix}\vec x = \vec 0.

根据线性方程组的理论，若要该关于$ \vec x $ 的方程有非零解，则要求系数矩阵的行列式为 0；也就是

\begin{vmatrix}

20 - \lambda & 14 & 0 & 0 \\

14 & 10 - \lambda & 0 & 0 \\

0 & 0 & -\lambda & 0 \\

0 & 0 & 0 & -\lambda

\end{vmatrix} =

\begin{vmatrix}

20 - \lambda & 14 \\

14 & 10 - \lambda \\

\end{vmatrix}\begin{vmatrix}

-\lambda & 0 \\

0 & -\lambda \\

\end{vmatrix}

= 0,

这也就是 $ \bigl((20 - \lambda)(10 - \lambda) - 196\bigr)\lambda^2 = 0$；解得 $\lambda_1 = \lambda_2 = 0 $, $ \lambda_{3} = 15 + \sqrt{221} \approx 29.866 $, $ \lambda_{4} = 15 - \sqrt{221} \approx 0.134 $。将特征值代入原方程，可解得对应的特征向量；这些特征向量即作为列向量，形成矩阵

$$\mathbf U = \begin{bmatrix}-0.82 & -0.58 & 0 & 0 \\ -0.58 & 0.82 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 1\end{bmatrix}.$$

同理可解得（注意，$ \mathbf M\mathbf M^{\mathsf T} $ 和 $ \mathbf M^{\mathsf T}\mathbf M $ 的特征值相同）

$$\mathbf V = \begin{bmatrix}-0.40 & -0.91 \\ -0.91 & 0.40\end{bmatrix}.$$

以及 $ \mathbf\Sigma $ 上的对角线元素由 $ \mathbf W $ 的特征值的算术平方根组成；因此有

$$\mathbf\Sigma = \begin{bmatrix}5.46 & 0 \\ 0 & 0.37 \\ 0 & 0 \\ 0 & 0\end{bmatrix}.$$

因此我们得到矩阵 $ \mathbf M $ 的 SVD 分解（数值上做了近似）：

$$\begin{bmatrix}2 & 4 \\ 1 & 3 \\ 0 & 0 \\ 0 & 0\end{bmatrix} \approx \begin{bmatrix}-0.82 & -0.58 & 0 & 0 \\ -0.58 & 0.82 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 1\end{bmatrix}\begin{bmatrix}5.46 & 0 \\ 0 & 0.37 \\ 0 & 0 \\ 0 & 0\end{bmatrix}\begin{bmatrix}-0.40 & -0.91 \\ -0.91 & 0.40\end{bmatrix}$$

几何上的直观解释

我们先来看一个例子。假设 $ \mathbf M $ 是一个 $ m\times n $ 的矩阵，而 $ \mathbf x $ 是线性空间 $ \mathbb K^n $ 中的向量，则 $ \mathbf y = \mathbf M\cdot\mathbf x $ 是线性空间 $ \mathbb K^m $ 中的向量。这样一来，矩阵 $ \mathbb A $ 就对应了一个从$ \mathbb K^n $ 到 $ \mathbb K^m $ 的变换$ T: \mathbb K^n \to \mathbb K^m $，具体来说既是 $ \mathbf x\mapsto \mathbf M\cdot\mathbf x $。这也就是说，在线性代数中，任意矩阵都能看做是一种变换。这样一来，我们就统一了矩阵和变换。

SVD 场景

隐性语义检索

信息检索-隐性语义检索（Lstent Semantic Indexing, LSI）或隐形语义分析（Latent Semantic Analysis, LSA）

隐性语义索引：矩阵 = 文档 + 词语

最早的 SVD 应用之一，我们称利用 SVD 的方法为隐性语义索引（LSI）或隐性语义分析（LSA）。

推荐系统

利用 SVD 从数据中构建一个主题空间。

再在该空间下计算其相似度。(从高维-低维空间的转化，在低维空间来计算相似度，SVD 提升了推荐系统的效率。)

图像压缩

例如：32*32=1024 => 32*2+2*1+32*2=130(2*1表示去掉了除对角线的0), 几乎获得了10倍的压缩比。

SVD 工作原理

矩阵分解

矩阵分解是将数据矩阵分解为多个独立部分的过程。

矩阵分解可以将原始矩阵表示成新的易于处理的形式，这种新形式是两个或多个矩阵的乘积。（类似代数中的因数分解）

举例：如何将12分解成两个数的乘积？（1，12）、（2，6）、（3，4）都是合理的答案。

SVD 是矩阵分解的一种类型，也是矩阵分解最常见的技术

SVD 将原始的数据集矩阵 Data 分解成三个矩阵 U、∑、V

举例：如果原始矩阵 $Data_{m*n} $ 是m行n列，
- $U_{m * k}$ 表示m行k列
- $∑_{k * k}$ 表示k行k列
- $V_{k * n}$ 表示k行n列。

$$ Data_{m×n} = U_{m×k} * ∑_{k×k} * V_{k×n} $$

具体的案例：

\begin{vmatrix}

0 & -1.6 & 0.6 \\

0 & 1.2 & 0.8 \\

0 & 0 & 0 \\

\end{vmatrix} =

\begin{vmatrix}

0.8 & 0.6 & 0 & 0 \\

-0.6 & 0.8 & 0 & 0 \\

0 & 0 & 1 & 0 \\

0 & 0 & 0 & 1 \\

\end{vmatrix} *

\begin{vmatrix}

2 & 0 & 0 \\

0 & 1 & 0 \\

0 & 0 & 0 \\

\end{vmatrix} *

\begin{vmatrix}

0 & 0 & 1 \\

-1 & 0 & 0 \\

0 & 1 & 0 \\

\end{vmatrix}

上述分解中会构建出一个矩阵∑，该矩阵只有对角元素，其他元素均为0(近似于0)。另一个惯例就是，∑的对角元素是从大到小排列的。这些对角元素称为奇异值。

奇异值与特征值(PCA 数据中重要特征)是有关系的。这里的奇异值就是矩阵 $Data * Data^T$ 特征值的平方根。

普遍的事实：在某个奇异值的数目(r 个=>奇异值的平方和累加到总值的90%以上)之后，其他的奇异值都置为0(近似于0)。这意味着数据集中仅有 r 个重要特征，而其余特征则都是噪声或冗余特征。

SVD 算法特点

优点：简化数据，去除噪声，优化算法的结果

缺点：数据的转换可能难以理解

使用的数据类型：数值型数据

菜馆菜肴推荐结果： [(3, 4.0), (5, 4.0), (6, 4.0)]***Repl Closed***

分析结果，我们不难发现，分别对3烤牛肉，5鲁宾三明治、6印度烤鸡给我4星好评，推荐给我们的用户。

要点补充

基于内容(content-based)的推荐

通过各种标签来标记菜肴

将这些属性作为相似度计算所需要的数据

这就是：基于内容的推荐。

构建推荐引擎面临的挑战

问题

1）在大规模的数据集上，SVD分解会降低程序的速度

2）存在其他很多规模扩展性的挑战性问题，比如矩阵的表示方法和计算相似度得分消耗资源。

3）如何在缺乏数据时给出好的推荐-称为冷启动【简单说：用户不会喜欢一个无效的物品，而用户不喜欢的物品又无效】

建议

1）在大型系统中，SVD分解(可以在程序调入时运行一次)每天运行一次或者其频率更低，并且还要离线运行。

2）在实际中，另一个普遍的做法就是离线计算并保存相似度得分。(物品相似度可能被用户重复的调用)

3）冷启动问题，解决方案就是将推荐看成是搜索问题，通过各种标签／属性特征进行基于内容的推荐。

项目案例: 基于SVD的图像压缩

收集并准备数据

将文本数据转化为矩阵

'''图像压缩函数'''def imgLoadData(filename):    myl = []    for line in open(filename).readlines():        newRow = []        for i in range(32):            newRow.append(int(line[i]))        myl.append(newRow)    # 矩阵调入后，就可以在屏幕上输出该矩阵    myMat = mat(myl)    return myMat

分析数据: 分析Sigma的长度个数

通常保留矩阵 80% ～ 90% 的能量，就可以得到重要的特征并去除噪声。

'''分析 Sigma 的长度取值根据自己的业务情况，就行处理，设置对应的 Singma 次数通常保留矩阵 80% ～ 90% 的能量，就可以得到重要的特征并取出噪声。'''def analyse_data(Sigma, loopNum=20):    # 总方差的集合（总能量值）    Sig2 = Sigma**2    SigmaSum = sum(Sig2)    for i in range(loopNum):        SigmaI = sum(Sig2[:i+1])        print('主成分：%s, 方差占比：%s%%' % (format(i+1, '2.0f'), format(SigmaI/SigmaSum*100, '.2f')))

使用算法: 对比使用 SVD 前后的数据差异对比，对于存储大家可以试着写写

例如：32*32=1024 => 32*2+2*1+32*2=130(2*1表示去掉了除对角线的0), 几乎获得了10倍的压缩比。

'''打印矩阵由于矩阵保护了浮点数，因此定义浅色和深色，遍历所有矩阵元素，当元素大于阀值时打印1，否则打印0'''def printMat(inMat, thresh=0.8):    for i in range(32):        for k in range(32):            if float(inMat[i, k]) > thresh:                print(1)            else:                print(0)        print('')'''实现图像压缩，允许基于任意给定的奇异值数目来重构图像Args:    numSV       Sigma长度    thresh      判断的阈值'''def imgCompress(numSV=3, thresh=0.8):    # 构建一个列表    myMat = imgLoadData('./0_5.txt')    print("****original matrix****")    # 对原始图像进行SVD分解并重构图像e    printMat(myMat, thresh)    # 通过Sigma 重新构成SigRecom来实现    # Sigma是一个对角矩阵，因此需要建立一个全0矩阵，然后将前面的那些奇异值填充到对角线上。    U, Sigma, VT = la.svd(myMat)    # SigRecon = mat(zeros((numSV, numSV)))    # for k in range(numSV):    #     SigRecon[k, k] = Sigma[k]    # 分析插入的 Sigma 长度    # analyse_data(Sigma, 20)    SigRecon = mat(eye(numSV) * Sigma[: numSV])    reconMat = U[:, :numSV] * SigRecon * VT[:numSV, :]    print("****reconstructed matrix using %d singular values *****" % numSV)    printMat(reconMat, thresh)